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    許興華數學 / 高中數學 / 解題薈(7)三角形費馬點的證明

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    解題薈(7)三角形費馬點的證明

    2016-11-29  許興華數學

    費馬點,就是平面上到三角形三頂點距離之和最小的點。由數學家費馬提出,據說由托里拆利很快找到。
    下面我們就隨手畫一個三角形,如圖


    在三角形隨意找一點D,連接DA、DB、DC,費馬點D在那個位置到三個頂點距離之和最小呢?

    我們通過旋轉來等價轉化距離之和,如圖


    以C點為旋轉中心,將三角形CDB逆時針旋轉60度到三角形CEF位置。易知DB=EF,DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF,顯然當A、D、E、F四點共線時,距離之和最短。當A、D、E共線時,∠CDA=120°,當D、E、F共線時,∠FEC=∠BDC=120°,所以D點應該對三個頂點的張角都為120°,這就是費馬點的位置。
    這里有一個問題,是否所有三角形費馬點都在三角形內部呢?

    如上圖,當∠C=120°時,就會變為下面的情況


    很顯然此時點C就是費馬點,由此可知如果三角形有一個內角大于等于120°時,費馬點就是該內角頂點。

    下面我們接著思考的一個問題是如何用作圖的方法在一個三角形中作出費馬點。

    如圖


    作圖方法:以三角形三邊分別作三個等邊三角形,再作三個等邊三角形的外接圓,三個外接圓在三角形內交于一點,即費馬點E。
    證明可根據共圓對角互補,得到三個張角為120°。

    費馬點在光學上有個最小光程原理,即光波在兩點間傳播時,自動選取費時最少的路徑。好神奇吧!

    這個原理我們可以借助橢圓的光學性質來理解一下,即橢圓一焦點射出的光線經橢圓內壁反射后必經過另一焦點,也即等價于橢圓上任意點的切線與兩焦半徑所夾的角相等。
    如圖


    上面我們說到三角形中的費馬點到三頂點距離之和最小,再結合最小光程原理即橢圓光學性質,我們便會意識到橢圓上的P點會不會是三角形ABC內的費馬點呢?
    如下圖


    以B和C為焦點,BP+PC為長軸作橢圓,以點A為圓心,AP為半徑做圓,可證明它們相切于點P,公切線為l,根據橢圓光學性質,AP必平分∠BPC,可得∠APB=∠APC,同理也可證的∠APC=∠BPC,可得點P與費馬點吻合。

    這個問題的由來源于詩峰今天的一個問題,在幾何上我需要學習的地方太多,所以今天抽時間整理下來,關于費馬點的應用抽時間再加以研究。


    封面題圖:落葉之美20161123


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